梅氏定理和塞瓦定理
目录一、说明二、梅涅劳斯(Menelaus)定理三、塞瓦(Giovanni Ceva)定理四、塞瓦点的推广4.1 共线定理4.2 三角形外的塞瓦点 一、说明在射影几何中,梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理,可以导出多项结论,如:极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等;本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。
二、梅涅劳斯(Menelaus)定理梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》(Sphaerica)中。 定理定义 当一条直线交 Δ A B C\Delta ABC ΔABC三边所在的直线 B C , A C , A BBC,AC,AB BC,AC,AB分别于点 D , E , FD,E,F D,E,F时,则有A F F B B D D C C E E A =1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 FBAFDCBDEACE=1
分析:显然, D , E , F D,E,FD,E,F分别为线段 B C , A C , A B BC,AC,ABBC,AC,AB的定比分点。因此:AFFB =λ1 ; BDDC =λ2 ;CEEA =λ3\frac{AF}{FB}=\lambda_1 ; \; \frac{BD}{DC} =\lambda_2;\frac{CE}{EA}=\lambda_3 FBAF=λ1;DCBD=λ2;EACE=λ3 因此,等价说法是:λ1λ2λ3 = 1\lambda_1 \lambda_2\lambda_3=1 λ1λ2λ3=1 [定理证明]
过点A作 A G ∥ D B AG\parallel DBAG∥DB交 B C BCBC的延长线于G点, 则:AFFB =λ1 =DGBD\frac{AF}{FB}=\lambda_1=\frac{DG}{BD} FBAF=λ1=BDDGCEEA =λ3 =CDDG\frac{CE}{EA}=\lambda_3=\frac{CD}{DG} EACE=λ3=DGCD ∴AFFBBDDCCEEA =λ1λ2λ3 =DGBDBDDCCDDG = 1\therefore \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}= \lambda_1 \lambda_2\lambda_3=\frac{DG}{BD} \frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}=1 ∴FBAFDCBDEACE=λ1λ2λ3=BDDGDCBDDGCD=1 [证毕]
三、塞瓦(Giovanni Ceva)定理塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。 【定理说明】 塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 分析:
四、塞瓦点的推广 4.1 共线定理证明「梅涅劳斯定理」和「塞瓦定理」,为了思路的简洁开明,需要介绍共边定理;引理本身是足够简明直观的,介绍如下: 有参考图如下:
在上面的四种情况下,有:PMQM =SΔ P A B SΔ Q A B \frac{PM}{QM} = \frac{S_{\Delta PAB}}{S_{\Delta QAB}} QMPM=SΔQABSΔPAB 证明就免了,无非三角形底边相同的时候,面积与高成比例,高又与斜线成比例,因此面积和斜边成比例。
4.2 三角形外的塞瓦点当塞瓦点在三角形外部,如下图:🔺ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部:AFFBBDDCCEEA = 1\frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 FBAFDCBDEACE=1
【证明】 BDDC= SΔABDSΔADC= SΔOBDSΔODC\frac{BD}{DC} = \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}} =\frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}}DCBD=SΔADCSΔABD=SΔODCSΔOBD 更比定理:BDDC =SΔ A B D−SΔ O B DSΔ A D C−SΔ O B D =SΔ O B A SΔ C A O \frac{BD}{DC} = \frac{S_{\Delta ABD}-S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}-S_{\Delta OBD}} =\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}} DCBD=SΔADC−SΔOBDSΔABD−SΔOBD=SΔCAOSΔOBACEEA =SΔ B C O SΔ A B O \frac{CE}{EA} = \frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} EACE=SΔABOSΔBCOAFFB =SΔ C A O SΔ B C O \frac{AF}{FB} = \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}} FBAF=SΔBCOSΔCAO
AFFBBDDCCEEA= SΔCAOSΔBCOSΔOBASΔCAOSΔBCOSΔABO= 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}= \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} = 1FBAFDCBDEACE=SΔBCOSΔCAOSΔCAOSΔOBASΔABOSΔBCO=1
【证毕】